Чему равна сумма вероятностей двух несовместных событий

В теории вероятностей несовместные события играют важную роль. Рассмотрим, как вычисляется вероятность суммы таких событий и какие особенности нужно учитывать при расчетах.

Определение несовместных событий

Несовместные (или взаимоисключающие) события - это события, которые не могут произойти одновременно в результате одного испытания. Основные характеристики:

• Одновременное наступление невозможно
• Не имеют общих исходов
• Пересечение таких событий - пустое множество

Примеры несовместных событий

Теорема о сумме вероятностей

Для несовместных событий A и B справедлива формула:

P(A + B) = P(A) + P(B)

где:

• P(A) - вероятность события A
• P(B) - вероятность события B
• P(A + B) - вероятность наступления хотя бы одного из событий

Доказательство теоремы

Рассмотрим доказательство для случая конечного числа равновозможных исходов:

1. Пусть общее число исходов равно n
2. Число благоприятных исходов для события A: m₁
3. Число благоприятных исходов для события B: m₂
4. Так как события несовместны, m₁ + m₂ ≤ n
5. Тогда P(A + B) = (m₁ + m₂)/n = P(A) + P(B)

Практическое применение

Ограничения применения

Важно помнить, что формула работает только для:

• Конечного числа событий
• Попарно несовместных событий
• Событий в одном вероятностном пространстве

Обобщение на несколько событий

Для n попарно несовместных событий формула принимает вид:

P(A₁ + A₂ + ... + Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ)

Эта формула является основой для построения более сложных вероятностных моделей.